ریاضی-هندسه
شاید بتوان هندسه را قدیمیترین بخش ریاضیات نامید. این گرایش در ابتدا به منظور برطرف کردن نیاز انسانها به محاسبه مساحت و اندازه اشکال مختلف هندسی پدید آمد و سپس در طول اعصار و قرون متمادی قوام یافت. تفکر اصل موضوعی نخستین انقلاب درونی را در علم هندسه پدید آورد. کتاب "اصول" اقلیدس تلاشی است در جهت استحکام بخشیدن به مفاهیم و نتایج هندسی به کمک چند اصل اولیه. در این میان اصل "توازی" برای مدت بسیار زیادی چالشبرانگیز بوده است و در نهایت این چالشها به کشف دستگاه اصل موضوعی دیگری در هندسه منجر شد که اکنون هندسه نااقلیدسی نامیده میشود. در دوران مدرن علاوه بر روش اصل موضوعی دو روش عمده دیگر برای بررسی مسائل هندسی وجود دارد. روش اوّل بررسی اشکال هندسی به کمک بررسی روشهای مختلف اندازهگیری طول و زاویه در آنهاست که هندسه ریمانی نامیده میشود و روش دوم بررسی اشکال هندسی به کمک گروه تبدیلات طولپای آنهاست که گروه لی نامیده میشود. امروزه مفاهیم هندسی به روی اشیائی تعریف میشوند که فضاهای توپولوژیک نامیده میشوند. توپولوژی، به عنوان علم بررسی پیوستارها و نیز تبدیلاتی که انواع تغییر شکلها غیر از دو تکه کردن و مانند آن را در بر میگیرد، یکی از بنیادیترین مفاهیم ریاضیات مدرن محسوب میشود. میتوان از گرایشهای توپولوژی جبری و نظریه سیستمهای دینامیکی به عنوان نمونههایی از گرایشهای عمده در توپولوژی نام برد.